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# Elektrische Messaufnehmer für nichtelektrische Größen

## Temperaturmessung

### Widerstandsthermometer

$$ R = \rho \cdot \frac{\ell}{A} = \frac{1}{\kappa} \cdot \frac{\ell}{A} = \frac{1}{n \cdot e \cdot \mu} \cdot \frac{\ell}{A} $$
$$ \kappa := \text{Spezifische Leitfähigkeit} $$
$$ n := \text{Dichte der freien Ladungsträger} $$
$$ e := \text{Elementarladung} $$
$$ \mu := \text{Ladungsträgerbeweglichkeit} $$

Entweder Dichte freier Ladungsträger $n$ ändert sich über die Temperatur oder die Ladungsträgerbeweglichkeit $\mu$.

Effekte:
- Störstellenstreuung: Stöße mit Atomen
- Phononenstreuung: Gitterschwingungen

#### Metall

- Kennlinie linear
- Positiver TK
- Ferromagnetische Metalle: Knick bis Curie-Temperatur (356 Grad)

Platin:

$$ R = R_0 \cdot (1 + A \cdot \vartheta + B \cdot {\vartheta}^{2}) $$
$$ \text{Pt100} := \text{$R_0 = 100 \Omega$ bei 0 Grad} $$

#### Halbleiter

- Nichtlineare Kennlinie

$\rho$ über $T$:

- Unterhalb Eigenleitung: Von Dotierung abhängig
- Störstellenerschöpfung: T bestimmt Beweglichkeit $\mu$

#### Spreading-Resistance-Thermometer

$$ R = \frac{{\rho}(T)}{\pi \cdot d} $$
$$ d := \text{Lochdurchmesser} $$
$$ D := \text{Dicke des Siliziums} $$

Vorteile:

- Langzeitstabilität
- Hoher Temperaturkoeffizient: hohe Sensitivität
- Leicht progressiv gekrümmte Kennlinie
- Preiswert

#### NTC-Widerstände

- Halbleiter
- Keramiken

3 Bereiche:

1. Störstellenleitung: Steigende Ionisierung der Störstellen, Leitfähigkeit steigt, Widerstand sinkt
2. Störstellenerschöpfung: Alle Ladungsträger sind ionisiert, Beweglichkeit $\mu$ steigt, aber auch Anzahl der Stöße
3. Eigenleitung: Elektronen können vom Valenz- ins Leitungsband frei wechseln

Vorteile:

- Hohe Sensitivität in Bereichen 1 und 3
- Kleine Geometrie:
    - Schnell
    - Kleine Rückwirkung

Nachteile:

- Nichtlinearität
- Hohe Fertigungstoleranz
- Alterungseffekt

Temperaturkoeffizient:

$$ \alpha = - \frac{B}{T^2} $$

#### NTC-Linearisierung

$$ R(T) = R_0 \cdot \text{exp}(\frac{B}{T}) $$
$$ R_0 := \text{Widerstand bei Referenztemperatur} $$
$$ B := \text{Material-/Geometrieparameter} $$

Linearisierung mit Parallelwiderstand:

$$ R_{\text{ges}} = \frac{R_{T}(T) \cdot R_P}{R_{T}(T) + R_P} $$

Arbeitspunkt beim Wendepunkt:

$$ \frac{{\delta}^{2}}{\delta T} R_{\text{ges}} = 0 $$

Nachteile:

- Starke Exemplarstreuung (bis zu 20%)
- Alterung abhängig von $E_K$

Vorteile:

- Schnell
- Relativ hoher Nennwiderstand
    - 2-Leitertechnik auch bei langen Leitungslängen

### P-N-Thermometer

- Speisung mit Konstantstrom $I_D$
- Spannungsabfall $U_D$ wird gemessen

$$ U_D(T) = \eta \cdot \frac{k \cdot T}{e} \cdot \text{ln}(\frac{I_D}{I_S} + 1) $$

Im IC:

$$ U_D(T) = \eta \cdot \frac{k \cdot T}{e} \cdot \text{ln}(\frac{I_1 \cdot A_2}{I_2 \cdot A_1}) $$

### Thermoelemente

$$ U_\text{th} = - \int S d T $$

- Messen Temperaturdifferenzen
- Ausgleichsleitungen aus Material mit ähnlichen Eigenschaften wie das Thermoelement (Thermokraft $S$, damit das Verhältnis gleich bleibt)

### Strahlungspyrometer

Strahldichte:

$$ L_S = \frac{d^2 \Phi}{d A \cdot \text{cos}(\omega) \cdot d \Omega} $$

Spektrale Strahldichte:

$$ L_{\lambda S} = \frac{C_1}{\pi {\Omega}_0} \cdot \frac{1}{{\lambda}^5} \cdot \frac{1}{\text{exp}(\frac{C_2}{\lambda \cdot T}) - 1} $$
$$ {\Omega}_0 := \text{Raumwinkel des Halbraums geteilt durch $2\pi$} $$

Spektrale Strahldichte $\rightarrow$ Strahldichte (Stefan-Boltzmann-Gesetz):

$$ L_S = \int_0^{\infty} L_{\lambda S}(\lambda) d \lambda = \frac{\sigma}{\pi {\Omega}_0} \cdot T^4 $$

Wiensches Verschiebungsgesetz:

$$ {\lambda}_\text{max} = 2898 \mu \text{m} \frac{K}{T} $$

Aufbau:

- Gesichtsfeldblende: Fläche abhängig von Distanz zum Messobjekt, damit Detektorleistung gleich bleibt
- Detektor
    - Thermische Detektoren: Geschwärzte Fläche, Thermometer, breitbandig
    - Quanten-Detektoren: Photonenenergie $E_g < h \cdot f$

Verhältnispyrometer:

Messung vom Verhältnis der Intensität des Messobjekt zu bekannter Größe

$$ \frac{L_{\lambda}(T)}{L_{\lambda S}(T_{\text{ref}})} $$

- Gesamtstrahlungspyrometer: $S_A = \frac{T^4 - T_1^4}{T_2^4 - T_1^4}$
- Spektralpyrometer: $S_A = \frac{1}{1}$
- Glühfadenpyrometer: Kompensationsmessung mit Abgleich von Glühfadentemperatur

#### Grauer Körper

Spektraler Emissionsgrad:

$$ \epsilon = \frac{L_{\lambda}(T)}{L_{\lambda S}(T_{\text{ref}})} $$

Kirchhoff:

$$ 1 = r + \epsilon + t $$
$$ r := \text{Reflexionsgrad} $$
$$ \epsilon := \text{Emissionsgrad} $$
$$ t := \text{Transmissionsgrad (vernachlässigbar)} $$

## Magnetfeldmessung

### Hall-Sensor

- Lorentzkraft (Rechte-Hand-Regel)

Resultierendes E-Feld:

$$ E_t = E_a + E_H $$

Hallwinkel ${\Theta}_H$ des resultierenden E-Feldes $E_t$:

$$ \tan {\Theta}_H = {\mu}_H \cdot B $$

Hall-Spannung:

$$ U_H = R_H \cdot \frac{1}{T} \cdot I_x \cdot B_z = \frac{1}{q \cdot n} \cdot \frac{1}{T} \cdot I_x \cdot B_z $$
$$ R_H := \text{Hall-Koeffizient} $$

Relative Empfindlichkeit:

$$ S_I = | \frac{1}{I} \cdot \frac{d U_H}{d B_z} | = \frac{1}{q \cdot n \cdot d} $$
$$ q := \text{Materialkonstante} $$
$$ n := \text{Dichte freier Ladungsträger} $$
$$ d := \text{Dicke} $$

Materialien:

- Großer Hall-Koeffizient $R_H$ im Arbeitspunkt
- kleines $n$, aber auch großes $\mu$ für geringe Eigenerwärmung

### AMR-Sensoren

- Anisotropisch: Von Richtung des Magnetfeldes abhängig
- Abhängigkeit des spezifischen Widerstandes vom Winkel $\Theta$ der internen Magnetisierung und der Stromrichtung $I$
- Formanisotropie durch Schaffung einer magnetischen Vorzugsrichtung

Kennlinien $M$-$H_x$, $M$-$H_y$, $R$-$H_{y}/H_{k}$ merken!

Nachteile:

- Nichtlinearität
- Keine Richtungsinformation (symm. Kennlinie)
- Geringe Empfindlichkeit im Nullpunkt

Nachteile behebbar durch:

- Anlegen externes Bias-Magnetfeld $H_B$
- Barber-Poles (geometrische Maßnahme)
- sodass Stromrichtung $j$ und Magnetisierung $M$ stets nicht in die selbe Richtung zeigen

Problem: Flipping (Änderung der Magnetisierungsrichtung durch externes Magnetfelt), Bias-Feld zum unterbinden

Messbrücke:

- Schaltplan merken!

$$ R_1 = R_4 = R_0 + \Delta R (H_y) = R_0 + \Delta R \frac{H_y}{H_k} \sqrt{1 - (\frac{H_y}{H_k})^2} $$
$$ R_2 = R_3 = R_0 - \Delta R (H_y) = R_0 - \Delta R \frac{H_y}{H_k} \sqrt{1 - (\frac{H_y}{H_k})^2} $$

### GMR

- Schichtaufbau
- Schwingung Ferro- und Antiferromagnetischer Kopplung
- Widerstandsabhängigkeit von Elektronenspins

### Spin-Ventil

- Weich- und Hartmagnetische Schicht
- Keine Kopplung zwischen Schichten
- Weichmagnetische Schicht änder Magnetisierung durch externes Magnetfeld $\rightarrow$ Widerstandsänderung

### Induktionsspule

Induktionsgesetz:

$$ U_{\text{ind}} = - \frac{\delta \Phi}{\delta t} = - \frac{\delta}{\delta t} \iint_A B d A = - \iint_A \frac{\delta B}{\delta t} \cdot d A $$

Widerstand ohne Kern:

$$ R_{\text{DC}} = \rho \cdot \frac{I}{A} = \frac{4 \cdot n cdot \rho \cdot D}{d^2} $$
$$ n := \text{Anzahl der Windungen} $$
$$ D := \text{Windungsdurchmesser} $$
$$ d := \text{Drahtdurchmesser} $$

Nyquist-Rauschen abhängig von T:

$$ S_V = 16 \cdot k_B \cdot T \cdot n \cdot \rho \cdot \frac{D}{d^2} $$

SNR ohne Kern:

$$ \text{SNR} = \frac{U_0}{\sqrt{S_V \cdot \Delta f}} = \frac{{\pi}^2 \cdot {\mu}_0}{8 \cdot \sqrt{k_B \cdot T}} \cdot d \cdot \sqrt{n \cdot D^3 \cdot \kappa} \cdot f \cdot H_0 $$

Spektrale Rauschdichte ohne Kern:

$$ S_B^{1/2} = \frac{S_V^{1/2}}{\frac{S_0}{{\mu}_0} \cdot f} = \frac{8 \cdot \sqrt{k_B \cdot T}}{{\pi}^2 \cdot d \cdot f} \cdot \sqrt{\frac{\rho}{n \cdot D^3}} $$

- Möglichst klein für große Auflösung

Sensitivität ohne Kern:

$$ S_0 = \frac{U_0}{f \cdot H} = \frac{{\pi}^2}{2} \cdot n \cdot D^2 {\mu}_0 $$

Sensitivität mit Kern:

$$ S_0 = \frac{U_0}{f \cdot H} = \frac{{\pi}^2}{2} \cdot n \cdot D_c^2 {\mu}_c {\mu}_0 $$

- Sensitivität um Faktor ${\mu}_c$ größer

SNR mit Kern:

$$ \text{SNR} = \frac{U_0}{\sqrt{S_V \Delta f}} = \frac{{\pi}^2 \cdot {\mu}_0 \cdot {\mu}_c}{8 \cdot \sqrt{k_B \cdot T}} \cdot d \cdot D_c^2 \sqrt{\frac{n}{\rho \cdot D}} \cdot f \cdot H_0 $$

Spektrale Rauschdichte mit Kern:

$$ S_B^{1/2} = \frac{S_V^{1/2}}{\frac{S_0}{{\mu}_0} \cdot f} = \sqrt{4 \cdot k_B \cdot T} \cdot \frac{4 \cdot \sqrt{\rho \cdot D}}{{\pi}^2 \cdot d \cdot D_c^2 \cdot \sqrt{n} \cdot {\mu}_c \cdot f} $$

### Fluxgates

- Periodische Anregung der inneren Magnetisierungsspule
- Aufnahme über äußere Aufnahmespule
- Permeabilität zeitlich veränderlich
- Messung von DC-Feldern möglich

## Geometrische Größen

### Parametrische Sensoren

#### Kapazitiv

$$ C = \frac{{\epsilon}_0 \cdot {\epsilon}_r \cdot A}{d} $$

Änderung der Kapazität durch Änderung von ${\epsilon}_r$, $A$ und $d$.

Differentialkondensator:

- Linearer Verlauf von $\frac{C_1^{'} - C_2^{'}}{C_1}$ vs. $\frac{\Delta d}{d_0}$ um $\Delta d = 0$

Beide Kennlinien merken!

#### Induktiv

Induktivität:

$$ L = \frac{N^2}{R_m} $$
$$ R_m := \text{Magnetischer Widerstand} $$

- Abgriff an unterschiedlicher Windungszahl über Schleifkontakte
- Verschiebung des Weicheisenkerns

Änderung des magnetischen Widerstandes durch Verschiebung des Weicheisenkerns:

$$ R_m = \frac{{\ell}_\text{Fe}}{{\mu}_0 \cdot {\mu}_r \cdot A_\text{Fe}} + \text{{\ell}_\text{i}}{{\mu}_0 \cdot A_\text{i}} + \frac{{\ell}_\text{a}}{{\mu}_0 \cdot A_\text{a}} $$

Eisen: ${\ell}_\text{Fe}, A_\text{Fe}$ \\
Luft innen: ${\ell}_\text{i}, A_\text{i}$ \\
Luft außen: ${\ell}_\text{a}, A_\text{a}$

Differential-Tauchankeraufnehmer:

$$ L_1 = {\mu}_0 \cdot N^2 \cdot A \cdot \frac{{\mu}_\text{Fe}}{{\ell}_K - \Delta \ell + {\mu}_\text{Fe} \cdot ({\ell}_0 + \Delta \ell)} $$
$$ L_2 = {\mu}_0 \cdot N^2 \cdot A \cdot \frac{{\mu}_\text{Fe}}{{\ell}_K + \Delta \ell + {\mu}_\text{Fe} \cdot ({\ell}_0 - \Delta \ell)} $$

- Kennlinie analog zu Differentialkondensator
- Messung auch über 1/2-aktive Brückenschaltung

#### Resistiv

- Schiebepotentiometer

### Längenmessung

- Inkrementell, codiert, Triangulation, Interferometer, Laufzeitverhalten

Triangulation: Abbildung merken!

Michelson-Interferometer: Zählung der Intensitätsmaxima

### Winkelmessung

AMR-Sensoren:

- Starkes externes Magnetfeld, Vollbrücke, Ausgangsspannung sinusförmig

### Dehnungsmesstreifen

$$ \frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta \rho}{\rho} + \frac{\Delta \ell}{\ell} - 2 \cdot \frac{\Delta D}{D} = k \cdot \epsilon $$

#### Stauchstab

- Aufbauskizze merken!

Mechanische Spannung:

$$ \sigma = \frac{F}{A} $$

Mechanische Dehnung:

$$ \epsilon = \frac{\Delta \ell}{\ell} $$

Vollbrücke:

$$ \frac{U_2}{U_0} = \frac{1}{4} \cdot (\frac{\Delta R_1}{R_1} - \frac{\Delta R_2}{R_2} + \frac{\Delta R_3}{R_3} - \frac{\Delta R_4}{R_4}) - \frac{1}{8} \cdot \lfloor (\frac{\Delta R_1}{R_1})^2 - (\frac{\Delta R_2}{R_2})^2 + (\frac{\Delta R_3}{R_3})^2 - (\frac{\Delta R_4}{R_4})^2 \rfloor $$

- Temperatur wirkt gleich auf alle Widerstände: Kompensation
- Streckung eines R-Paares, Stauchung des anderen R-Paares: Verstärkung

#### Folien

$$ \frac{d R}{R} = \epsilon \cdot (2 - \frac{1}{\epsilon} \frac{d (\mu \cdot N)}{\mu \cdot N}) $$
$$ \mu := \text{Ladungsträgerbeweglichkeit} $$
$$ N := \text{Gesamtladungsträgerzahl} $$

#### Halbleiter

Widerstandsänderung durch mechanische Belastung anstatt geometrische Veränderung.

Nachteile:
- Starke Temperaturabhängigkeit $\rightarrow$ Vollbrücke (Ansatz: $R(\vartheta) = R_c(1 + \alpha \Delta \vartheta + k \cdot \epsilon)$)
- Nichtlineare Kennlinie

#### Vor-/Nachteile DMS-Technologien

##### Folien-/Freidraht-DMS

Vorteile:

- Auf beliebigen Festkörper applizierbar
- einfache Applikation
- Einzelstücke preiswert herstellbar

Nachteile:

- Eingeschränkter Temperaturbereich (-40 - 80 Grad)
- Feuchtigkeitsempfindlich
- Keine Miniaturisierungsmöglichkeit
- Erhebliche Steifigkeit
- Klebung kritisch, Kriechstrom

##### Dünnschicht-DMS

Vorteile:

- Für große Stückzahlen geeignet (geringe Parameterstreuung)
- Weiter Temperaturbereich (-200 bis 200 Grad)
- Keine Feuchtigkeitsempfindlichkeit
- Gute Miniaturisierungsmlichkeiten
- Kein Kriechstrom

Nachteile:

- Nur planare Federkörper möglich
- Nur einseitige Beschichtung
- Gut polierte Oberfläche des Trägers benötigt
- Nur im Batch-Prozess wirtschaftlich

##### Monolithischer Silizium-Sensor

Stark dotierter Teilbereich auf der Oberfläche

Vorteile:

- Als Batch viele Sensoren gleichzeitig
- Keine Feuchtigkeitsempfindlichkeit
- Gute Miniaturisierung
- Keine Eigensteifigkeit
- Gut integrierbar

Nachteile:

- Hochreine Oberfläche notwendig
- Nur planare Federkörper
- Keine lokalisierte Krafteinwirkung messbar
- Eingeschränkter Temperaturbereich (-80 bis 80 Grad)